Bình phương của mọi số dương và âm đều là số dương, và bình phương của 0 là 0. Bởi vậy, không số âm nào có căn bậc hai thực. Tuy nhiên ta có thể tiếp tục với một tập hợp số bao quát hơn, gọi là tập số phức, trong đó chứa đáp số căn bậc hai của số âm. Một số mới, ký hiệu là i (đôi khi là j, đặc biệt trong điện học, ở đó "i" thường mô tả dòng điện), gọi là đơn vị ảo, được định nghĩa sao cho i2 = −1. Từ đây ta có thể tưởng tượng i là căn bậc hai của −1, nhưng để ý rằng (−i)2 = i2 = −1 do đó −i cũng là căn bậc hai của −1. Với quy ước này, căn bậc hai chính của −1 là i, hay tổng quát hơn, nếu x là một số không âm bất kỳ thì căn bậc hai chính của −x là

− x = i x . {\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}

Vế phải đích thực là căn bậc hai của −x, bởi

( i x ) 2 = i 2 ( x ) 2 = ( − 1 ) x = − x . {\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}

Đối với mọi số phức z khác 0 tồn tại hai số w sao cho w2 = z: căn bậc hai chính của z và số đối của nó.